等边三角形中的角度证明

教育 K12
1

对题目进行解答

BRWB4B5B6A2844F_001044
BRWB4B5B6A2844F_0010442480×3197 250 KB

2

好的，我们来解答这道几何证明题。

题目分析：

  • 已知条件：
    1. △ABC 是等边三角形。
    2. 点 D 在边 BC 上，点 E 在边 AC 上。
    3. BD = CE。
  • 求解目标：
    • 证明 ∠AFE = 60°。

证明过程：

第一步：利用等边三角形的性质。

因为 △ABC 是等边三角形，所以：

  • 三条边相等：AB = BC = CA
  • 三个角相等且都为 60°：∠ABC = ∠BCA = ∠CAB = 60°

第二步：证明三角形全等。

我们来考察 △ABD 和 △BCE。
在 △ABD 和 △BCE 中：

  1. AB = BC （已证，等边三角形的边）
  2. ∠ABD = ∠BCE （即 ∠ABC = ∠BCA = 60°，已证）
  3. BD = CE （已知条件）

根据“边角边”（SAS）全等判定定理，我们可以得出：
△ABD ≅ △BCE

第三步：利用全等三角形的性质。

因为 △ABD ≅ △BCE，所以它们的对应角相等：
∠BAD = ∠CBE

第四步：求解 ∠AFE 的度数。

现在我们看 △ABF。角 ∠AFE 是 △ABF 的一个外角。
根据三角形外角性质（三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和），可得：
∠AFE = ∠FAB + ∠FBA

其中：

  • ∠FAB 就是 ∠BAD
  • ∠FBA 就是 ∠ABE

所以，∠AFE = ∠BAD + ∠ABE

在第三步中，我们已经证明了 ∠BAD = ∠CBE。现在我们将这个结论代入上式：
∠AFE = ∠CBE + ∠ABE

观察图形可知，∠CBE + ∠ABE 正好组成了角 ∠ABC。
所以，∠AFE = ∠ABC

因为 △ABC 是等边三角形，所以 ∠ABC = 60°。

因此，∠AFE = 60°。

结论：

综上所述，证明完毕，∠AFE = 60°。